Jak się dziś czujesz? Codzienny zapis pomaga zauważyć wzorce.
Zapisz nastrój
Ostatnie 14 dni
Historia
Planer celów
Długoterminowe cele rozbite na konkretne kroki.
Nowy cel
Lista książek
Co przeczytać, co czytasz i jak oceniasz przeczytane.
Dodaj książkę
Analiza AI i propozycje
AI przeanalizuje Twoją listę (co czytasz, przeczytałeś, chcesz przeczytać), opisze Twój gust i zaproponuje nowe tytuły dopasowane do Ciebie.
Nauka
Ustaw stały tygodniowy harmonogram i przedmioty, a potem ułóż plan sam — pędzlem „Przedmiot” — albo zdaj się na generator. Każdą zaplanowaną godzinę odhaczasz, gdy ją zrobisz.
🤖 Plan na dziś
AI rozpisze każdą dzisiejszą sesję z Harmonogramu osobno — co obejrzeć z kursu i które zadania zrobić, mieszcząc się w czasie sesji pomodoro. Domyślnie kontynuuje kurs od miejsca, w którym skończyłeś, i nie przechodzi dalej, dopóki bieżący dział nie jest przerobiony.
min/zad.
Sesja pomodoro
Wybierz przedmiot (opcjonalnie) i zacznij — ukończona faza pracy sadzi drzewo.
—
Praca
25:00
🌲 Twój las
Harmonogram tygodnia
Wybierz tryb i zaznacz godziny — ten sam harmonogram obowiązuje co tydzień. Klik nagłówka dnia maluje cały dzień, klik godziny po lewej — cały wiersz. Większy kawałek zamalujesz jednym gestem: przeciągnij myszą np. od 12:00 do 17:00, a na telefonie przytrzymaj palcem pierwszą godzinę i dotknij ostatniej. Przedmioty w zielonych okienkach rozstawisz sam pędzlem „Przedmiot” albo jednym kliknięciem „Generuj plan”; kliknij okienko, aby odhaczyć zrobioną godzinę, a podwójny klik uruchamia pomodoro.
Wybierz aktywność i maluj nią po siatce. „Zajęte” blokuje godzinę tak jak „Niedostępny”, ale z podpisem — automat wie, czym jest, i tam nie zaplanuje nauki. „Nauka” odhaczasz pędzlem „Dostępny” i wlicza się do statystyk.
Ręczne układanie planu, bez generatora: wybierz przedmiot i klikaj godziny w siatce — wstawi się w nie ta nauka. Klik tym samym przedmiotem drugi raz zdejmuje go z godziny, klik nagłówka dnia albo godziny wypełnia całą kolumnę lub wiersz, a przeciągnięcie (na telefonie: przytrzymanie i drugie dotknięcie) wstawia przedmiot w cały zakres naraz. Godzina niedostępna lub szkolna zmieni się przy okazji na „Dostępny”; własnych aktywności ten pędzel nie rusza.
Zrobione godziny w tym tygodniu
Dostępny / zaplanowany przedmiotW szkole — nauka dopiero po szkoleMoja aktywność — zajęteMoja aktywność — nauka (odhaczasz)Niedostępny
Czat z AI — zmiany w planie
Napisz np. „w środy mam trening 17–19, oznacz jako niedostępne i przełóż naukę” — AI zaktualizuje harmonogram i plan. Wymaga zalogowania do konta w chmurze.
Czego chcę się uczyć
Wpisz przedmiot i jego priorytet w procentach. Im wyższy procent, tym więcej czasu dostanie w planie — np. 80% matematyka i 20% geografia to 4× więcej matematyki.
%
Czas wg przedmiotu
Sprawdziany
Zapowiedzi sprawdzianów, kartkówek i innych prac z terminarza Librusa — data, przedmiot i opis. Do każdej możesz dopisać umówioną poprawę.
Terminarz z Librusa
—
Umówione poprawy
Dodaj ręcznie
Sprawdzian, którego nie ma w Librusie — np. zapowiedziany tylko ustnie.
Wymagania maturalne
Pełna lista wymagań z podstawy programowej dla matury 2027 (Formuła 2023) — matematyka, geografia i fizyka na poziomie rozszerzonym. Odhacz to, co już rozumiesz; postęp zapisuje się razem z resztą danych i synchronizuje z chmurą.
—
—
AI: co opanować dziś
AI sprawdzi dzisiejszy plan z zakładki „Nauka”, ominie odhaczone wymagania i dobierze tematy pod liczbę godzin z matematyki, fizyki i geografii.
Postęp jako plik
Sam postęp (odhaczone wymagania i notatki) — osobno od pełnej kopii danych aplikacji. Przydaje się do przeniesienia na inne urządzenie bez logowania.
Materiały
Spis materiałów do nauki — arkusze, zbiory zadań, karty pracy. Wybierz przedmiot, wpisz nazwę materiału i (jeśli chcesz) liczbę zadań, które zawiera. Gdy podasz liczbę zadań, dostaniesz tyle samo kwadracików do odhaczania — widać, ile z materiału zostało zrobione.
Dodaj materiał
zadań
Liczba zadań jest opcjonalna — zostaw puste, jeśli materiał nie ma zadań albo nie chcesz ich liczyć. Możesz ją dopisać albo zmienić później.
Karta wzorów z fizyki
Wszystkie wzory z maturalnej karty CKE (strony 16–20), rozpisane symbol po symbolu — co znaczy każde oznaczenie, kiedy wolno wzoru użyć i gdzie najłatwiej stracić punkty. Dział 00 tłumaczy sam zapis: sumy, wektory, delty i litery greckie.
Dział 00 · jak czytać wzór
Znaki i oznaczenia
Zanim zaczniesz podstawiać liczby, musisz umieć przeczytać sam zapis. Te znaki wracają w każdym dziale i karta CKE nigdzie ich nie tłumaczy — zakłada, że je znasz. Tu masz je wszystkie w jednym miejscu.
Znak sumy
wielka sigma
suma — grecka wielka litera sigma; każe dodać do siebie wiele składników
od czego zaczynamy — licznik startuje od 1
na czym kończymy — ostatnia wartość licznika
składnik — wzór, który liczysz dla każdego po kolei
Czytaj to jak instrukcję: „weź , policz ; weź , policz ; rób tak aż do i wszystko dodaj”. Dla trzech kawałków bryły to po prostu .
Gdzie to spotkaszMoment bezwładności, środek masy, opór zastępczy, II prawo Kirchhoffa. Wszędzie tam sigma znaczy tylko tyle, że składników jest wiele i trzeba je zsumować.
Wektor
strzałka nad symbolem
wektor — wielkość, która ma wartość, kierunek i zwrot
wartość wektora (długość strzałki) — sama liczba, bez kierunku
Strzałka mówi, że wielkość ma kierunek: prędkość, siła, pęd, przyśpieszenie, natężenie pola. Ten sam symbol bez strzałki oznacza samą wartość. Wektory dodaje się „koniec do początku”, a nie zwyczajnie — dwie siły po 3 N mogą dać wypadkową od 0 N do 6 N, zależnie od kątów.
Uwaga na kartęCKE zapisuje wartości wielkości wektorowych bez symbolu wektora — jeśli we wzorze nie ma strzałki, liczysz na samych wartościach.
Delta — zmiana wielkości
grecka litera
zmiana („przyrost”) — zawsze wartość końcowa minus początkowa
wartość końcowa i początkowa wielkości
to nie „delta razy t”, tylko jedna wielkość: ile czasu upłynęło. Tak samo to zmiana prędkości, a — zmiana energii. Wynik bywa ujemny i to normalne: znaczy, że ciało ostygło.
Częsty błądOdejmowanie w złej kolejności. Zawsze końcowa minus początkowa — inaczej dostaniesz przeciwny znak i błędny wniosek o kierunku procesu.
Kąt między wektorami
kąt między wektorami i — mierzony między nimi, gdy wychodzą z tego samego punktu
Ten zapis mówi tylko tyle: „kąt między tymi dwoma wektorami”. Przy wzór jest największy dla 90° (wektory prostopadłe), a zeruje się dla 0° i 180° (równoległe). Przy jest dokładnie odwrotnie.
Sprawdzian sensuZanim policzysz: jeśli wektory są prostopadłe, to i . Jeśli równoległe — i . To pozwala w sekundę sprawdzić, czy dobrze ustawiłeś kąt.
Prostopadłość i równoległość
prostopadły — pod kątem 90°
równoległy — ten sam kierunek
W karcie przy sile Lorentza to nie równanie do liczenia, tylko informacja o geometrii: siła jest prostopadła do prędkości. Z tego wynika, że nie wykonuje pracy i nie zmienia energii kinetycznej.
Proporcjonalność
tylda
jest proporcjonalne do — rośnie w tym samym tempie, ale wzór nie podaje stałej
To słabsze niż znak równości: mówi tylko, jak wielkość się zmienia, a nie ile dokładnie wynosi. znaczy „dwa razy większa amplituda ⇒ cztery razy większe natężenie”. Do liczeń używasz proporcji: .
Jak z tego liczyćNigdy nie podstawiaj . Zawsze porównuj dwa stany i dziel je przez siebie — stała, której nie znasz, wtedy się skraca.
Znaki równości i przybliżenia
równa się — dokładnie tyle samo
w przybliżeniu — wzór pomija coś małego (np. wzory Dopplera dla )
z definicji — tak umówiono, np.
mniejsze/większe lub równe — np. tarcie statyczne
Nierówność w karcie nie jest pomyłką. mówi, że tarcie statyczne dopasowuje się do sytuacji i ma tylko górną granicę — dopiero jej przekroczenie rusza ciało.
Wartość bezwzględna
kreski pionowe
wartość bezwzględna — sama wielkość, bez znaku;
Karta stawia kreski wszędzie tam, gdzie interesuje nas ile, a nie w którą stronę. Praca gazu ma znak zależny od tego, czy gaz się sprężał, czy rozprężał — ale do liczenia sprawności potrzebna jest sama jej wielkość.
Plus-minus i minus-plus
plus albo minus — wybierasz jeden zależnie od sytuacji
minus albo plus — znak przeciwny do tego, który wziąłeś przy
Te dwa symbole są ze sobą sprzężone: jeżeli u góry weźmiesz górny znak, to na dole też bierzesz górny. Jeden wzór zapisuje w ten sposób dwa przypadki naraz — zbliżanie i oddalanie.
Jak nie pomylićZamiast zgadywać, sprawdź kierunek fizycznie: gdy źródło się oddala, częstotliwość musi zmaleć. Wybierz znaki tak, żeby wynik wyszedł mniejszy od .
Indeksy dolne i górne
indeks dolny 0 — wartość początkowa, w chwili
indeks opisowy — skrót nazwy (kin = kinetyczna), nie działanie
indeks licznikowy — „-ty z kolei” element
indeks górny — potęga, tu „do kwadratu”
zapis jądra — górny to liczba masowa , dolny to liczba atomowa
Indeks dolny nigdy nie jest mnożeniem ani potęgą — to część nazwy wielkości. i to dwie różne liczby w tym samym zadaniu, a czyta się „a dośrodkowe”, nie „a razy do”.
UwagaJedyny indeks górny, który nie jest potęgą, to zapis jądra atomowego i ładunek cząstki (). Wszędzie indziej góra = potęga.
Pierwiastek i ułamek
pierwiastek kwadratowy — liczba, która podniesiona do kwadratu daje to, co pod pierwiastkiem
kreska ułamkowa — dzielenie; wszystko nad kreską dzielisz przez wszystko pod nią
Zasięg pierwiastka wyznacza pozioma belka: w tym wzorze pod pierwiastkiem jest cały ułamek, a nie samo . W kalkulatorze policz najpierw ułamek, dopiero z wyniku wyciągnij pierwiastek.
Stała i wartości charakterystyczne
wielkość stała — nie zmienia się w czasie trwania zjawiska
wartość największa, jaką wielkość osiąga
wartość średnia z wielu wartości albo z całego okresu
„const” to nie liczba do podstawienia, tylko informacja: cokolwiek wyjdzie, w chwili późniejszej wyjdzie tyle samo. Do liczeń używasz tego jako równania między dwoma momentami: .
Nawias kwadratowy — jednostka wielkości
jednostka wielkości — nie wartość, tylko w czym się ją mierzy
Zapis czyta się „natężenie mierzymy w watach na metr kwadratowy”. Karta używa go tam, gdzie ten sam symbol znaczy w różnych działach co innego — to raz natężenie prądu, raz natężenie fali, a raz moment bezwładności.
Narzędzie kontrolneSprawdzanie jednostek wyłapuje połowę błędów rachunkowych. Jeśli w wyniku na energię wychodzi coś innego niż dżul, gdzieś zgubiłeś wielkość.
Notacja wykładnicza
potęgi dziesiątki
potęga dziesiątki — przesunięcie przecinka o miejsc w prawo
ujemny wykładnik — przesunięcie przecinka o miejsc w lewo
to 0,00000000000000000016. Tak zapisuje się wszystkie stałe fizyczne, bo inaczej nie dałoby się ich czytać. Przy mnożeniu wykładniki dodajesz, przy dzieleniu odejmujesz.
Na kalkulatorzeUżywaj klawisza EXP albo ×10ˣ, nie wpisuj „10^”. Wpisanie jako 2×10^3 bywa liczone jako i wynik jest kilkaset razy za duży.
Litery greckie używane w karcie
Ta sama litera bywa użyta w kilku działach w różnym znaczeniu — rozstrzyga kontekst, czyli dział, w którym stoi wzór.
gęstość powierzchniowa ładunku; stała Stefana–Boltzmanna
Σ
sigma (wielka)
znak sumowania
φ
fi
faza drgania lub fali
Φ
fi (wielka)
strumień pola magnetycznego
Ψ
psi
potencjał wody (dział biologiczny karty)
ω
omega
prędkość kątowa; częstość kołowa drgań
Ω
omega (wielka)
om — jednostka oporu elektrycznego
Dział 01 · karta s. 16
Kinematyka
Opis ruchu bez pytania o przyczyny. Wszystko sprowadza się do trzech wielkości — położenia, prędkości i przyśpieszenia — oraz do tego, czy patrzysz na wartość średnią (przez cały odcinek) czy chwilową (w jednym punkcie).
Prędkość
wektor
prędkość — jak szybko i w którą stronę zmienia się położenie [m/s]
przemieszczenie — wektor od punktu startowego do końcowego [m]
czas, w którym to przemieszczenie nastąpiło [s]
Prędkość mówi, jak szybko zmienia się położenie. Dla dużego dostajesz prędkość średnią, dla bardzo małego — chwilową (tę, którą pokazuje prędkościomierz).
UwagaPrzemieszczenie to nie droga. Jeśli biegniesz 400 m dookoła bieżni i wracasz na start, droga = 400 m, ale , więc prędkość średnia = 0, a szybkość średnia = 400 m / t.
Przyśpieszenie
wektor
przyśpieszenie — jak szybko zmienia się prędkość [m/s²]
zmiana prędkości — prędkość końcowa minus początkowa [m/s]
czas, w którym zaszła ta zmiana [s]
Zmiana prędkości w czasie. Zmienić się może wartość prędkości (szybciej/wolniej) albo sam kierunek — dlatego ciało jadące ze stałą szybkością po zakręcie i tak ma przyśpieszenie.
ZnakUjemne nie znaczy „hamowanie”, tylko „zwrot przeciwny do osi”. Ciało hamuje wtedy, gdy i mają przeciwne zwroty.
Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym
prędkość w chwili [m/s]
prędkość początkowa — w chwili [m/s]
przyśpieszenie — tu stałe [m/s²]
czas liczony od początku ruchu [s]
Działa tylko przy stałym przyśpieszeniu. To równanie prostej na wykresie : to punkt przecięcia z osią pionową, to nachylenie.
Droga w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym
droga przebyta w czasie [m]
prędkość początkowa [m/s]
czas ruchu [s]
przyśpieszenie — stałe [m/s²]
Dla spadku swobodnego wstaw i , i masz . Dla rzutu pionowego w górę .
Na maturzeŁącząc oba wzory (rugując ) dostajesz bardzo przydatne — nie ma go w karcie, ale wolno je wyprowadzić i skraca połowę zadań o hamowaniu.
Prędkość kątowa
ruch obrotowy
prędkość kątowa — ile radianów na sekundę zakreśla promień [rad/s]
kąt zakreślony przez promień [rad]
czas, w którym ten kąt został zakreślony [s]
Odpowiednik prędkości dla obrotu: ile radianów na sekundę. Cały obrót to rad.
UwagaKąt zawsze w radianach, nie w stopniach. Jeśli w zadaniu są stopnie, przelicz: .
Związek prędkości kątowej i liniowej
prędkość liniowa punktu — po stycznej do okręgu [m/s]
prędkość kątowa — wspólna dla całej bryły [rad/s]
odległość punktu od osi obrotu [m]
Wszystkie punkty obracającej się bryły mają to samo , ale różne — im dalej od osi, tym szybciej. Stąd koniec śmigła leci szybciej niż jego środek.
Związki w ruchu jednostajnym po okręgu
prędkość kątowa [rad/s]
okres — czas jednego pełnego obiegu [s]
częstotliwość — liczba obiegów na sekundę [Hz = 1/s]
pełny kąt w radianach (360°)
Skoro pełny obieg to kąt w czasie , to . Te dwa wzorki wracają potem w drganiach, falach i prądzie przemiennym.
Przyśpieszenie dośrodkowe
przyśpieszenie dośrodkowe, zwrócone do środka okręgu [m/s²]
prędkość liniowa ciała [m/s]
promień okręgu, po którym biegnie ciało [m]
prędkość kątowa [rad/s]
W ruchu po okręgu ze stałą szybkością wartość się nie zmienia, ale kierunek — tak. To przyśpieszenie odpowiada wyłącznie za zakręcanie i zawsze jest prostopadłe do prędkości.
Klucz do zadańNie ma czegoś takiego jak „siła dośrodkowa” jako osobna siła. To rola, którą pełni jakaś realna siła: grawitacja dla satelity, napięcie nici dla kulki na sznurku, tarcie dla auta na zakręcie. Pisz .
Przyśpieszenie kątowe
przyśpieszenie kątowe — jak szybko rozkręca się obrót [rad/s²]
zmiana prędkości kątowej [rad/s]
czas tej zmiany [s]
Pojawia się, gdy obrót przyśpiesza lub zwalnia — np. rozkręcająca się wirówka. Odpowiednik dla ruchu obrotowego.
Przyśpieszenie styczne
przyśpieszenie styczne — składowa wzdłuż toru, zmienia wartość prędkości [m/s²]
przyśpieszenie kątowe [rad/s²]
odległość od osi obrotu [m]
Gdy ruch po okręgu nie jest jednostajny, ciało ma dwie składowe przyśpieszenia: styczną (zmienia wartość prędkości) i dośrodkową (zmienia kierunek). Całkowite: .
Dział 02 · karta s. 16
Dynamika i bryła sztywna
Tu pytamy dlaczego ruch wygląda tak, a nie inaczej. Ta sama logika powtarza się dwa razy: raz dla ruchu postępowego (masa, siła, pęd), raz dla obrotowego (moment bezwładności, moment siły, moment pędu).
Pęd
pęd — „ilość ruchu”, wektor o zwrocie prędkości [kg·m/s]
masa ciała [kg]
prędkość ciała [m/s]
„Ilość ruchu”. Wektor — ma zwrot prędkości. W układzie izolowanym (brak sił zewnętrznych) całkowity pęd się nie zmienia i to jest najczęściej używana zasada zachowania na maturze: zderzenia, odrzut, rozpad.
Na maturzeW zderzeniach zawsze zapisuj pęd jako sumę wektorów, z uwzględnieniem znaków: . Ciało lecące w lewo ma pęd ujemny.
II zasada dynamiki (w układzie inercjalnym)
siła wypadkowa — suma wektorowa wszystkich sił [N]
masa ciała [kg]
przyśpieszenie, jakie ciało uzyskuje [m/s²]
zmiana pędu ciała [kg·m/s]
czas, w którym siła działa [s]
Pierwsza wersja działa dla ciała o stałej masie. Druga mówi wprost, że siła to szybkość zmiany pędu — i z niej bierze się popęd siły: , niezbędny w zadaniach o uderzeniach, odrzucie i zderzeniach, gdzie znasz czas oddziaływania zamiast przyśpieszenia.
Popełniany błąd to wypadkowa, nie „jakaś siła”. Zanim podstawisz, narysuj wszystkie siły i zrzutuj je na osie. Wzór działa tylko w układzie inercjalnym (nieprzyśpieszającym).
Wartość momentu siły
obrót
moment siły — „zdolność siły do kręcenia” [N·m]
odległość punktu przyłożenia siły od osi obrotu [m]
wartość siły [N]
kąt między ramieniem a siłą
Mierzy „zdolność siły do kręcenia”. Iloczyn to ramię siły — odległość osi od prostej działania siły. Dlatego klamka jest daleko od zawiasów, a siłę przykładasz prostopadle ().
Równowaga bryłyCiało nie obraca się, gdy suma momentów w lewo = suma momentów w prawo. Razem z warunkiem to komplet do zadań o belkach, dźwigniach i drabinach.
Wartość momentu pędu punktu materialnego
moment pędu — obrotowy odpowiednik pędu [kg·m²/s]
odległość ciała od osi obrotu (promień wodzący) [m]
pęd ciała [kg·m/s]
kąt między promieniem a pędem
Obrotowy odpowiednik pędu. Gdy nie działa zewnętrzny moment siły, jest zachowany — dlatego łyżwiarka przyciąga ręce i zaczyna wirować szybciej (mniejsze ⇒ większe ).
Moment bezwładności
moment bezwładności — „masa dla obrotu” [kg·m²]
masa -tego kawałka bryły [kg]
odległość tego kawałka od osi obrotu [m]
liczba kawałków, na które dzielimy bryłę
„Masa dla obrotu” — mówi, jak trudno rozkręcić ciało. Zależy nie tylko od masy, ale i od jej rozmieszczenia: obręcz jest trudniejsza do rozkręcenia niż pełny walec o tej samej masie i tym samym promieniu ( wobec ), bo jej masa leży cała przy krawędzi.
Na maturzeWartości dla walca, kuli czy pręta podaje się w treści zadania — nie musisz ich pamiętać.
Moment pędu bryły sztywnej
moment pędu bryły [kg·m²/s]
moment bezwładności bryły [kg·m²]
prędkość kątowa obrotu [rad/s]
Analogia jest dokładna: ⟶ . Zachowanie w postaci rozwiązuje wszystkie zadania o zmianie tempa wirowania.
II zasada dynamiki ruchu obrotowego
moment bezwładności bryły [kg·m²]
przyśpieszenie kątowe [rad/s²]
wypadkowy moment siły działający na bryłę [N·m]
Zapis skalarny. Czytaj jak : moment siły rozkręca bryłę tym wolniej, im większy jej moment bezwładności.
Praca siły i praca momentu siły
praca siły [J]
wartość siły [N]
przebyta droga (wartość przemieszczenia) [m]
kąt między siłą a kierunkiem ruchu — cosinus bierze tylko składową siły wzdłuż ruchu
praca momentu siły przy obrocie [J]
moment siły [N·m]
kąt obrotu [rad]
Siła prostopadła do ruchu nie wykonuje pracy () — dlatego siła dośrodkowa i siła Lorentza nigdy nie zmieniają energii kinetycznej. Przy praca jest ujemna (np. tarcie).
Moc
moc — szybkość wykonywania pracy [W = J/s]
praca wykonana w tym czasie [J]
czas, w którym praca została wykonana [s]
Szybkość wykonywania pracy. Przy stałej sile wzdłuż ruchu można też liczyć — przydaje się w zadaniach o samochodach i wciągarkach.
Energia kinetyczna ruchu postępowego
energia kinetyczna ruchu postępowego [J]
masa ciała [kg]
prędkość ciała [m/s]
Zależy od kwadratu prędkości: dwa razy szybszy samochód ma cztery razy większą energię (i drogę hamowania). Praca wypadkowej siły równa się zmianie .
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
energia kinetyczna ruchu obrotowego [J]
moment bezwładności względem osi obrotu [kg·m²]
prędkość kątowa [rad/s]
Ciało, które toczy się bez poślizgu, ma obie energie naraz: , przy czym . Dlatego kula stacza się z równi szybciej niż obręcz.
Dział 03 · karta s. 16
Siły tarcia i siła sprężystości
Siła tarcia kinetycznego
siła tarcia kinetycznego — działa, gdy ciało się ślizga [N]
współczynnik tarcia kinetycznego — liczba bez jednostki, zależy od pary materiałów
siła nacisku prostopadła do powierzchni [N]
Działa, gdy ciało już się ślizga; zwrot zawsze przeciwny do prędkości. Nie zależy od pola styku ani od prędkości.
Na równi to nie ciężar. Na równi o kącie jest , a wzdłuż równi ciągnie . To najczęstszy błąd w tym dziale.
Siła tarcia statycznego
siła tarcia statycznego — trzyma nieruchome ciało w miejscu [N]
współczynnik tarcia statycznego — bez jednostki, zwykle nieco większy od
siła nacisku prostopadła do powierzchni [N]
Zwróć uwagę na nierówność: tarcie statyczne dopasowuje się do siły, która próbuje ruszyć ciało — jest dokładnie tak duże, by je zrównoważyć, aż do wartości maksymalnej . Dopiero po jej przekroczeniu ciało rusza i tarcie przechodzi w kinetyczne (zwykle nieco mniejsze).
Siła sprężystości (prawo Hooke’a)
siła sprężystości — z jaką sprężyna ciągnie z powrotem [N]
współczynnik sprężystości — jak twarda jest sprężyna [N/m]
wychylenie — o ile sprężyna jest rozciągnięta lub ściśnięta [m]
minus — siła ma zwrot przeciwny do wychylenia
Minus oznacza, że siła jest zawsze skierowana przeciwnie do wychylenia — sprężyna wraca do położenia równowagi. Ta postać siły (proporcjonalna do wychylenia, skierowana do środka) to warunek ruchu harmonicznego.
Energia potencjalna sprężystości
energia potencjalna sprężystości — energia zmagazynowana w sprężynie [J]
współczynnik sprężystości [N/m]
wychylenie względem stanu swobodnego [m]
Praca włożona w rozciągnięcie sprężyny. Kwadrat, bo siła rośnie liniowo — to pole trójkąta pod wykresem .
Dział 04 · karta s. 16
Grawitacja i elementy astronomii
Jedno prawo — powszechne ciążenie — plus konsekwencje: pole grawitacyjne, energia, orbity i prawa Keplera. Uwaga na dwa różne wzory na energię potencjalną: „szkolny” działa tylko blisko powierzchni.
Prawo powszechnego ciążenia
siła grawitacji — przyciąganie między dwiema masami [N]
stała grawitacji, N·m²/kg²
masy obu ciał [kg]
odległość między środkami ciał [m]
Siła przyciągania dwóch mas. Maleje z kwadratem odległości: dwa razy dalej ⇒ cztery razy słabiej. Dla ciała na powierzchni planety to promień planety, nie wysokość nad gruntem.
Typowe zadaniePrzyrównaj do siły dośrodkowej: . Masa satelity się skraca — dlatego prędkość orbitalna nie zależy od tego, co krąży.
Natężenie pola grawitacyjnego
natężenie pola grawitacyjnego — siła przypadająca na kilogram [N/kg]
Siła przypadająca na kilogram — cecha samego pola, niezależna od tego, co w nim umieścisz. Liczbowo równa przyśpieszeniu, jakie pole nadaje ciału. Na Ziemi m/s². Dla planety: .
Energia potencjalna grawitacji
energia potencjalna grawitacji — ujemna, bo zero przyjęto w nieskończoności [J]
stała grawitacji [N·m²/kg²]
masy obu ciał [kg]
odległość między środkami ciał [m]
Wzór ogólny, dla dowolnej odległości. Minus jest istotny: poziom zerowy przyjęto w nieskończoności, więc każde zbliżenie ciał to energia ujemna. Ciało jest związane grawitacyjnie, gdy jego energia całkowita .
Zmiana energii potencjalnej przy powierzchni Ziemi
zmiana energii potencjalnej [J]
masa ciała [kg]
przyśpieszenie ziemskie, ok. 9,81 m/s²
różnica wysokości [m]
Uproszczenie poprzedniego wzoru dla małych wysokości, gdzie można uznać za stałe. Liczy się tylko różnica wysokości, więc poziom zerowy wybierasz dowolnie.
Granica stosowalnościDla satelity na orbicie już nie działa — tam trzeba .
Prędkość na orbicie kołowej
I prędkość kosmiczna
prędkość orbitalna — potrzebna, by krążyć po okręgu [m/s]
stała grawitacji [N·m²/kg²]
masa ciała centralnego — planety, gwiazdy [kg]
promień orbity, liczony od środka ciała centralnego [m]
Dla orbity tuż nad Ziemią daje ok. 7,9 km/s. Im wyższa orbita, tym wolniej się po niej krąży.
Prędkość ucieczki
II prędkość kosmiczna
prędkość ucieczki (II prędkość kosmiczna) [m/s]
stała grawitacji [N·m²/kg²]
masa ciała centralnego [kg]
odległość od jego środka [m]
Prędkość potrzebna, by oddalić się nieskończenie daleko (z zerową prędkością końcową). Wynika z . Zawsze — dla Ziemi ok. 11,2 km/s.
II prawo Keplera i zachowanie momentu pędu
pole zakreślone przez promień wodzący planety [m²]
czas, w którym to pole zostało zakreślone [s]
moment pędu planety — stały co do wartości i kierunku [kg·m²/s]
Promień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach. Praktyczny wniosek: w peryhelium (, najbliżej) planeta leci najszybciej, w aphelium () najwolniej. To po prostu zachowanie momentu pędu: .
III prawo Keplera
okresy obiegu dwóch ciał wokół tego samego centrum [s]
promienie orbit kołowych albo półosie wielkie elips [m]
Porównuje dwa ciała krążące wokół tego samego centrum. Stała po prawej zależy od masy ciała centralnego (), więc nie wolno zestawiać księżyca Jowisza z planetą krążącą wokół Słońca.
Prawo Hubble’a
prędkość oddalania się galaktyki [km/s]
stała Hubble’a, ok. 70 (km/s)/Mpc
odległość galaktyki od nas [Mpc]
Im dalsza galaktyka, tym szybciej się oddala — dowód rozszerzania się Wszechświata. Odwrotność daje zgrubny wiek Wszechświata.
JednostkiPilnuj megaparseków: 1 pc m, więc 1 Mpc m.
Dział 05 · karta s. 17
Drgania, fale mechaniczne i świetlne
Ruch harmoniczny to „ruch po okręgu oglądany z boku” — stąd wszędzie , sinusy i okresy. Fala to drganie, które podróżuje: przenosi energię, nie materię.
Równania ruchu harmonicznego
wychylenie z położenia równowagi w chwili [m]
prędkość w chwili [m/s]
przyśpieszenie w chwili [m/s²]
amplituda — największe wychylenie, [m]
częstość kołowa, [rad/s]
czas [s]
faza początkowa — mówi, gdzie ciało było w chwili [rad]
największa prędkość i największe przyśpieszenie w czasie drgań
Prędkość wyprzedza wychylenie o ćwierć okresu: w skrajnym położeniu , a największe; w położeniu równowagi odwrotnie — największe, .
Czytanie wykresuZ wykresu odczytujesz (wysokość) i (odległość między szczytami), a dopiero z liczysz .
Siła harmoniczna
siła harmoniczna — zawsze skierowana do położenia równowagi [N]
masa drgającego ciała [kg]
częstość kołowa drgań [rad/s]
wychylenie z położenia równowagi [m]
Definicja ruchu harmonicznego: siła proporcjonalna do wychylenia i skierowana do położenia równowagi. Porównując z , dostajesz .
Częstość drgań masy na sprężynie i wahadła matematycznego
częstość kołowa drgań [rad/s]
współczynnik sprężystości sprężyny [N/m]
masa ciała zawieszonego na sprężynie [kg]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
długość wahadła [m]
Okres sprężyny nie zależy od (działa tak samo na Księżycu), a okres wahadła nie zależy od masy — tylko od długości i . Stąd oraz .
WarunekWzór wahadła obowiązuje dla małych wychyleń (kilka stopni), bo dopiero wtedy .
Całkowita energia mechaniczna oscylatora
całkowita energia drgającego ciała — stała w czasie [J]
energia kinetyczna i potencjalna — przelewają się jedna w drugą [J]
masa drgającego ciała [kg]
amplituda drgań [m]
częstość kołowa [rad/s]
Energia przelewa się między kinetyczną a potencjalną, ale suma jest stała i zależy od kwadratu amplitudy. Podwojenie amplitudy to czterokrotnie większa energia.
Związki między parametrami ruchu fali
prędkość fali w danym ośrodku [m/s]
długość fali — odległość między sąsiednimi grzbietami [m]
okres — czas jednego pełnego drgania [s]
częstotliwość — narzuca ją źródło [Hz]
Najczęściej używany wzór w całej optyce i akustyce. Przy przejściu do innego ośrodka częstotliwość się nie zmienia (narzuca ją źródło) — zmienia się , a razem z nią .
Faza fali w punkcie i chwili
faza — w którym miejscu cyklu drgania jest dany punkt ośrodka [rad]
okres fali [s]
czas [s]
długość fali [m]
odległość punktu od źródła [m]
faza początkowa źródła [rad]
Mówi, w którym miejscu cyklu drgania jest dany punkt ośrodka. Człon z opisuje opóźnienie: im dalej od źródła, tym później fala tam dotrze.
Warunki wzmocnienia i osłabienia fali (interferencja)
fazy dwóch fal docierających do tego samego punktu [rad]
liczba całkowita: 0, 1, 2, …
W praktyce liczy się różnicę dróg : wzmocnienie, gdy , wygaszenie, gdy . To podstawa doświadczenia Younga i obliczeń dla siatki dyfrakcyjnej.
WarunekPrzeliczanie różnicy faz na różnicę dróg jest prawdziwe tylko dla źródeł spójnych, drgających zgodnie w fazie ( takie samo). Jeśli źródła startują w przeciwfazie, warunki się zamieniają miejscami.
Natężenie fali
natężenie fali — moc przypadająca na metr kwadratowy [W/m²]
energia przeniesiona przez falę [J]
pole powierzchni, przez które fala przechodzi [m²]
czas przepływu tej energii [s]
amplituda fali [m]
Energia przenoszona przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu — czyli moc na metr kwadratowy. Rośnie z kwadratem amplitudy: dwa razy większa amplituda drgań to cztery razy większe natężenie.
Natężenie fali kulistej a odległość
natężenie fali [W/m²]
odległość od źródła [m]
Ta sama energia rozkłada się na coraz większą sferę o polu . Dwa razy dalej od głośnika ⇒ cztery razy mniejsze natężenie (amplituda maleje jak ).
Załamanie fali na granicy ośrodków (prawo Snella)
kąt padania — mierzony od normalnej, czyli prostopadłej do powierzchni
kąt załamania — też od normalnej
prędkości fali w ośrodku 1 i 2 [m/s]
współczynniki załamania obu ośrodków, — bez jednostki
Przechodząc do ośrodka gęstszego optycznie (większe , mniejsze ) fala załamuje się ku normalnej. Zwróć uwagę na odwrócenie indeksów: prędkościom 1,2 odpowiadają .
Efekt Dopplera — wzory przybliżone
v źródła ≪ v fali
częstotliwość odbierana przez obserwatora [Hz]
częstotliwość wysyłana przez źródło [Hz]
prędkość źródła [m/s]
prędkość obserwatora [m/s]
prędkość dźwięku (fali) w ośrodku [m/s]
prędkość światła w próżni [m/s]
Zbliżanie ⇒ ton wyższy, oddalanie ⇒ niższy. W astronomii to poczerwienienie widma oddalających się galaktyk.
Znaki w trzecim wzorzeDla światła górny znak (−) dotyczy oddalania się źródła (mniejsza , przesunięcie ku czerwieni), dolny (+) — zbliżania. Wzory przybliżone wolno stosować dopiero wtedy, gdy prędkość źródła jest dużo mniejsza od prędkości fali.
Efekt Dopplera — wzory ścisłe
częstotliwość odbierana przez obserwatora [Hz]
częstotliwość wysyłana przez źródło [Hz]
prędkość fali w ośrodku [m/s]
prędkość obserwatora [m/s]
prędkość źródła [m/s]
prędkość światła w próżni [m/s]
Pierwszy — dla dźwięku (ośrodek istnieje, więc ruch źródła i obserwatora dają różne efekty). Drugi — relatywistyczny, dla światła, gdzie liczy się tylko prędkość względna. Górne znaki bierz dla oddalania, dolne dla zbliżania.
Siatka dyfrakcyjna
stała siatki — odległość między sąsiednimi szczelinami [m]
kąt, pod jakim widać maksimum -tego rzędu
rząd maksimum: 1, 2, 3…
długość fali światła [m]
Jasne prążki powstają tam, gdzie różnica dróg z sąsiednich szczelin to całkowita wielokrotność . Skoro , liczba widocznych rzędów jest ograniczona: .
Na maturzeJeśli podano „500 rys na milimetr”, to m. Światło czerwone (większe ) odchyla się bardziej niż fioletowe — odwrotnie niż w pryzmacie.
Polaryzacja światła
amplituda pola elektrycznego fali padającej na polaryzator [V/m]
amplituda po przejściu — składowa wzdłuż osi polaryzacji P [V/m]
kąt między kierunkiem drgań fali padającej a osią polaryzatora
Polaryzator przepuszcza tylko rzut wektora na swoją oś. Ponieważ natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, (prawo Malusa). Światło niespolaryzowane traci na pierwszym polaryzatorze połowę natężenia.
Dział 06 · karta s. 17
Optyka geometryczna
Kąt graniczny
całkowite wewnętrzne odbicie
kąt graniczny — powyżej niego zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie
współczynnik załamania ośrodka rzadszego (do którego światło chce wyjść)
współczynnik załamania ośrodka gęstszego (w którym światło biegnie)
Dotyczy przejścia z ośrodka gęstszego (2) do rzadszego (1). Powyżej kąta granicznego światło w ogóle nie wychodzi — całe odbija się z powrotem. Na tym działają światłowody i dlatego diament tak błyszczy (jego ).
Warunek polaryzacji przy odbiciu (kąt Brewstera)
kąt padania w ośrodku 1 — przy polaryzacji zwany kątem Brewstera
kąt załamania w ośrodku 2
Gdy promień odbity i załamany tworzą kąt prosty, światło odbite jest całkowicie spolaryzowane. Stąd — i stąd okulary polaryzacyjne tłumiące odblaski od wody i asfaltu.
Równanie soczewki i zwierciadła
odległość przedmiotu od soczewki lub zwierciadła, zawsze [m]
odległość obrazu: obraz rzeczywisty (można rzucić na ekran), pozorny [m]
ogniskowa: skupiająca, rozpraszająca [m]
Cała trudność to znaki. Wynik ujemny nie jest błędem — to informacja, że obraz jest pozorny (tak działa lupa, gdy przedmiot jest bliżej niż ognisko).
Dodaj do tegoPowiększenia nie ma w karcie, a bywa potrzebne: . Zdolność skupiająca w dioptriach [1/m].
Ogniskowa soczewki (wzór szlifierzy)
ogniskowa soczewki [m]
współczynnik załamania szkła, z którego zrobiona jest soczewka
współczynnik załamania otoczenia — powietrza, wody itd.
promienie krzywizny obu powierzchni soczewki [m]
znak: + przy powierzchni wypukłej, − przy wklęsłej
Ogniskowa zależy nie tylko od kształtu, ale i od otoczenia. Szklana soczewka skupiająca zanurzona w cieczy o większym niż szkło zmienia znak nawiasu i zaczyna rozpraszać — to ulubione zadanie „na myślenie”.
Dział 07 · karta s. 17
Hydrostatyka i aerostatyka
Ciśnienie i siła parcia
siła parcia — zawsze prostopadła do powierzchni [N]
ciśnienie [Pa = N/m²]
pole powierzchni, na którą działa ciśnienie [m²]
Parcie jest zawsze prostopadłe do powierzchni. To samo ciśnienie daje tym większą siłę, im większa powierzchnia — na tym stoi prasa hydrauliczna.
Zmiana ciśnienia hydro- i aerostatycznego
różnica ciśnień między dwiema głębokościami [Pa]
gęstość cieczy lub gazu [kg/m³]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
różnica głębokości [m]
Ciśnienie zależy wyłącznie od głębokości i gęstości — nie od kształtu naczynia ani ilości cieczy (paradoks hydrostatyczny). Ciśnienie całkowite na głębokości to .
Siła wyporu (prawo Archimedesa)
siła wyporu — skierowana pionowo w górę [N]
gęstość cieczy (nie ciała!) [kg/m³]
objętość zanurzonej części ciała [m³]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
Wypór równa się ciężarowi wypartej cieczy. Ciało pływa, gdy ; tonie, gdy jest odwrotnie. Dla ciała pływającego , co pozwala wyliczyć, jaka część wystaje nad wodę.
Dwa najczęstsze błędyWstawianie gęstości ciała zamiast cieczy oraz całej objętości zamiast zanurzonej.
Dział 08 · karta s. 17
Termodynamika
Bilans energii dla układów z bardzo dużą liczbą cząsteczek. Kluczowe są dwie umowy o znakach i jedno równanie stanu, z którego wyprowadzasz wszystkie przemiany gazowe.
I zasada termodynamiki
zmiana energii wewnętrznej układu [J]
ciepło dostarczone układowi — dodatnie, gdy układ je pobiera [J]
praca wykonana nad układem — dodatnia, gdy gaz jest sprężany [J]
Energię wewnętrzną można zmienić na dwa sposoby: grzejąc albo wykonując pracę. W konwencji CKE oba wkłady do układu są dodatnie — dlatego jest tu plus, a nie minus, jak w części podręczników.
ZnakiGaz sprężany: . Gaz rozprężający się i pchający tłok: . Gaz oddający ciepło: .
Praca siły parcia przy stałym ciśnieniu
praca wykonana przy zmianie objętości [J]
ciśnienie — tutaj stałe [Pa]
zmiana objętości gazu [m³]
Dotyczy przemiany izobarycznej. W przemianie izochorycznej () praca jest zerowa, więc całe ciepło idzie w energię wewnętrzną.
Praca jako pole pod wykresem
praca wykonana przy przejściu ze stanu A do B [J]
stany początkowy i końcowy gazu, zaznaczone na wykresie
Uniwersalna metoda, gdy ciśnienie się zmienia i wzoru nie wolno użyć. Dla cyklu zamkniętego praca to pole wewnątrz pętli — obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara oznacza silnik.
Ciepło właściwe
ciepło właściwe — energia na ogrzanie 1 kg o 1 K [J/(kg·K)]
ciepło dostarczone substancji [J]
masa ogrzewanej substancji [kg]
przyrost temperatury [K] — taki sam jak w °C
Ile energii trzeba na ogrzanie 1 kg substancji o 1 K. Zwykle używasz w postaci . Woda ma wyjątkowo duże — 4200 J/(kg·K) — dlatego morze stygnie tak wolno.
Ciepło molowe
ciepło molowe — energia na ogrzanie 1 mola o 1 K [J/(mol·K)]
ciepło dostarczone gazowi [J]
liczba moli gazu [mol]
przyrost temperatury [K]
To samo co wyżej, ale na mol zamiast na kilogram. Dla gazów podaje się osobno (przy stałej objętości) i (przy stałym ciśnieniu).
Ciepło przemiany fazowej
ciepło przemiany — topnienia albo parowania [J/kg]
ciepło pochłonięte przy zmianie stanu skupienia [J]
masa substancji zmieniającej stan [kg]
Energia potrzebna na zmianę stanu skupienia — podczas topnienia i wrzenia temperatura się nie zmienia, mimo dostarczania ciepła. W zadaniach z bilansem cieplnym pamiętaj o dodaniu tego członu, gdy lód przechodzi w wodę.
Średnia energia cząsteczki gazu doskonałego
średnia energia kinetyczna jednej cząsteczki [J]
liczba stopni swobody — dla gazu jednoatomowego
stała Boltzmanna, J/K
temperatura bezwzględna — zawsze w kelwinach [K]
Temperatura to miara średniej energii kinetycznej cząsteczek. Dla gazu jednoatomowego , a energia wewnętrzna całego gazu to .
Zawsze kelwinyWszędzie, gdzie stoi samo (nie jako ), musi być w K: .
Równanie stanu gazu doskonałego (Clapeyrona)
ciśnienie gazu [Pa]
objętość gazu [m³]
liczba moli [mol]
uniwersalna stała gazowa, 8,314 J/(K·mol)
temperatura w kelwinach [K]
Z tego jednego wzoru wyprowadzasz wszystkie przemiany: izotermiczna , izobaryczna , izochoryczna . Ogólnie, przy stałej ilości gazu: .
Związek ciepeł molowych
ciepło molowe przy stałym ciśnieniu [J/(mol·K)]
ciepło molowe przy stałej objętości [J/(mol·K)]
uniwersalna stała gazowa — nadwyżka idąca na pracę rozprężania
Ogrzewając gaz przy stałym ciśnieniu, musisz dostarczyć więcej ciepła niż przy stałej objętości — nadwyżka idzie na pracę rozprężania.
Praca i ciepło w cyklu
całkowite ciepło wymienione z otoczeniem w całym cyklu [J]
całkowita praca mechaniczna wykonana w cyklu [J]
Po pełnym cyklu układ wraca do stanu początkowego, więc — cała pobrana energia cieplna netto zamienia się w pracę. To formalny powód, dla którego perpetuum mobile I rodzaju nie istnieje.
Sprawność silnika cieplnego
sprawność — jaka część pobranego ciepła zamienia się w pracę (0–1)
praca wykonana przez silnik w jednym cyklu [J]
ciepło pobrane ze źródła gorącego [J]
ciepło oddane do chłodnicy [J]
Zawsze : część ciepła musi trafić do chłodnicy (II zasada termodynamiki). Górną granicę wyznacza cykl Carnota: , z temperaturami w kelwinach.
Dział 09 · karta s. 18
Elektrostatyka
Struktura jest bliźniaczo podobna do grawitacji: prawo odwrotnych kwadratów, natężenie pola jako siła na jednostkę, energia potencjalna. Różnica: ładunki bywają ujemne, więc siła może też odpychać.
Prawo Coulomba
siła elektryczna — odpychanie lub przyciąganie ładunków [N]
stała elektrostatyczna, N·m²/C²
ładunki obu ciał — ze znakiem [C]
odległość między ładunkami [m]
przenikalność elektryczna próżni, C²/(N·m²)
Ładunki jednoimienne się odpychają, różnoimienne przyciągają. Ta sama zależność co w grawitacji, ale siła jest o rzędy wielkości silniejsza — dla dwóch protonów odpychanie elektryczne przewyższa przyciąganie grawitacyjne razy.
Natężenie pola elektrycznego
natężenie pola elektrycznego — siła na jednostkowy ładunek [N/C = V/m]
siła elektryczna działająca na ładunek próbny [N]
ładunek próbny umieszczony w polu [C]
Siła na jednostkowy ładunek próbny. Zwrot definiuje się dla ładunku dodatniego; na ładunek ujemny siła działa przeciwnie do linii pola.
Natężenie pola na zewnątrz sferycznego rozkładu ładunku
natężenie pola w odległości od środka [N/C]
stała elektrostatyczna [N·m²/C²]
całkowity ładunek kuli lub powłoki [C]
odległość od środka rozkładu ładunku [m]
Naładowana kula działa na zewnątrz tak, jakby cały jej ładunek był skupiony w środku. Wewnątrz naładowanej powłoki przewodzącej pole jest zerowe.
Napięcie między punktami pola
napięcie między punktami A i B [V]
praca przeciw sile elektrycznej przy przenoszeniu ładunku z A do B [J]
przenoszony ładunek [C]
potencjały elektryczne w punktach A i B [V]
Napięcie to różnica potencjałów — praca na jednostkę ładunku. Stąd elektronowolt: to energia elektronu przyśpieszonego napięciem 1 V, czyli J.
Uwaga na konwencjęKarta CKE definiuje , bo liczy jako pracę przeciw sile elektrycznej. Wiele podręczników zapisuje to odwrotnie (, praca siły pola). Oba zapisy są spójne wewnętrznie — trzymaj się tego z karty i nie mieszaj ich w jednym zadaniu. W obliczeniach i tak prawie zawsze liczy się wartość bezwzględna napięcia.
Energia potencjalna układu ładunków
energia potencjalna pary ładunków — ujemna dla różnoimiennych [J]
stała elektrostatyczna [N·m²/C²]
ładunki ze znakiem [C]
odległość między nimi [m]
Uwaga na potęgę: siła ma , energia . Dla ładunków różnoimiennych energia wychodzi ujemna — układ jest związany, trzeba dostarczyć energii, by go rozdzielić.
Napięcie a natężenie w polu jednorodnym
napięcie między okładkami [V]
natężenie pola — jednorodnego [V/m]
odległość między okładkami [m]
Działa tylko dla pola jednorodnego — np. między okładkami kondensatora płaskiego. Stąd jednostka natężenia w woltach na metr.
Pole między płytami naładowanymi różnoimiennie
natężenie pola między okładkami — jednorodne [V/m]
gęstość powierzchniowa ładunku — ładunek na metr kwadratowy okładki [C/m²]
przenikalność elektryczna próżni [C²/(N·m²)]
ładunek zgromadzony na okładce [C]
pole powierzchni okładki [m²]
Pole jest jednorodne — takie samo w każdym punkcie między okładkami i niezależne od odległości od nich.
Pole wewnątrz dielektryka
natężenie pola wewnątrz dielektryka — osłabione [V/m]
natężenie pola zewnętrznego, bez dielektryka [V/m]
względna przenikalność elektryczna — ile razy materiał osłabia pole (dla próżni 1)
Dielektryk polaryzuje się i osłabia pole zewnętrzne razy. Dlatego włożenie szkła między okładki zwiększa pojemność kondensatora.
Pojemność kondensatora
pojemność — ile ładunku mieści się przy danym napięciu [F = C/V]
ładunek na okładce [C]
napięcie między okładkami [V]
Ile ładunku zmieści się przy danym napięciu. Pojemność jest cechą samego kondensatora — nie zmienia się, gdy zmieniasz napięcie.
Pojemność kondensatora płaskiego
pojemność kondensatora [F]
względna przenikalność dielektryka między okładkami
przenikalność elektryczna próżni [C²/(N·m²)]
pole powierzchni okładki [m²]
odległość między okładkami [m]
Większe okładki i mniejszy odstęp ⇒ większa pojemność. Rozsuwanie okładek odłączonego kondensatora zmniejsza , a skoro jest stałe, napięcie rośnie.
Energia kondensatora
energia zgromadzona w kondensatorze [J]
ładunek na okładce [C]
pojemność [F]
napięcie na kondensatorze [V]
Trzy równoważne postacie — wybierasz tę, w której masz dane. Który wzór jest wygodny, zależy od tego, co jest utrzymywane stałe: przy odłączonym źródle stałe jest , przy podłączonym — .
Pole wewnątrz przewodnika
natężenie pola wewnątrz bryły przewodnika — zawsze zero
natężenie pola tuż przy powierzchni — zawsze do niej prostopadłe
fragment powierzchni przewodnika [m²]
Ładunki w przewodniku przemieszczają się aż do wygaszenia pola w środku i gromadzą się na powierzchni. To klatka Faradaya: w metalowym samochodzie jesteś bezpieczny podczas burzy.
Dział 10 · karta s. 18
Prąd elektryczny
Natężenie prądu
natężenie prądu [A = C/s]
ładunek, który przepłynął przez przekrój przewodnika [C]
czas tego przepływu [s]
Ładunek przepływający przez przekrój przewodnika w jednostce czasu. Jeden amper to elektronów na sekundę.
Opór elektryczny i prawo Ohma
opór elektryczny [Ω = V/A]
napięcie na końcach przewodnika [V]
natężenie prądu płynącego przez niego [A]
Pierwszy zapis to definicja oporu — działa zawsze. Drugi to prawo Ohma, czyli stwierdzenie, że dla danego przewodnika w stałej temperaturze ten stosunek się nie zmienia. Żarówka i dioda prawa Ohma nie spełniają — ich charakterystyka nie jest prostą.
Opór przewodnika z drutu
opór odcinka drutu [Ω]
opór właściwy materiału — cecha substancji [Ω·m]
długość drutu [m]
pole przekroju poprzecznego drutu, [m²]
Dłuższy i cieńszy drut ma większy opór. Uwaga: to pole przekroju poprzecznego, czyli — jeśli podano średnicę, najpierw podziel przez dwa.
Moc prądu stałego
moc wydzielana na oporniku [W]
napięcie na oporniku [V]
natężenie prądu przez opornik [A]
opór opornika [Ω]
Trzy postacie tego samego. Przy szeregowym połączeniu (wspólne ) używaj — większy opór grzeje się mocniej. Przy równoległym (wspólne ) użyj — tam jest odwrotnie.
Zależność oporu metali od temperatury
opór w temperaturze [Ω]
opór w temperaturze odniesienia [Ω]
temperaturowy współczynnik oporu — dodatni dla metali [1/K]
przyrost temperatury, [K]
W metalach opór rośnie z temperaturą (drgające jony częściej rozpraszają elektrony). W półprzewodnikach jest odwrotnie — opór maleje, bo przybywa nośników.
Dodawanie napięć
napięcie między skrajnymi punktami A i C [V]
napięcia na kolejnych odcinkach tej samej gałęzi [V]
Napięcia wzdłuż jednej gałęzi się sumują — stąd dzielnik napięcia w połączeniu szeregowym.
II prawo Kirchhoffa
siła elektromotoryczna -tego źródła w oczku [V]
spadek napięcia na -tym elemencie oczka [V]
liczba źródeł i liczba elementów w rozpatrywanym oczku
znak zależny od przyjętego kierunku obiegu oczka
Idąc dookoła oczka i wracając do punktu wyjścia, wracasz do tego samego potencjału. Ustal kierunek obiegu i konsekwentnie trzymaj się znaków.
Brakuje w karcieI prawo Kirchhoffa (dla węzła): . Trzeba je pamiętać — razem z II tworzą komplet do obwodów rozgałęzionych.
Siła elektromotoryczna a napięcie na biegunach
siła elektromotoryczna źródła — napięcie przy otwartym obwodzie [V]
napięcie na zaciskach baterii pod obciążeniem [V]
natężenie prądu płynącego przez źródło [A]
opór wewnętrzny źródła [Ω]
Realna bateria „gubi” część napięcia na własnym oporze. Dlatego napięcie na zaciskach spada, gdy podłączysz mocniejszy odbiornik, a zmierzysz tylko przy otwartym obwodzie ().
Opór zastępczy: szeregowo i równolegle
opór zastępczy — jeden opornik równoważny całemu połączeniu [Ω]
opór -tego opornika [Ω]
liczba oporników w połączeniu
Szeregowo: jedna droga, opory się dodają, płynie wspólny prąd. Równolegle: więcej dróg, opór zastępczy jest mniejszy od najmniejszego z oporników, a wspólne jest napięcie.
SkrótDla dwóch oporników równolegle: . Dla jednakowych: .
Dział 11 · karta s. 18
Magnetyzm i indukcja
Pole magnetyczne wytwarzają poruszające się ładunki i na poruszające się ładunki działa. Kierunki wyznaczasz regułą prawej dłoni, a nie wzorem — wzór daje tylko wartość.
Siła Lorentza
siła Lorentza — prostopadła i do prędkości, i do pola [N]
ładunek poruszającej się cząstki [C]
prędkość cząstki [m/s]
indukcja magnetyczna — „siła” pola magnetycznego [T]
kąt między prędkością a polem
Ładunek lecący wzdłuż linii pola () nie odczuwa nic. Prostopadle — siła jest maksymalna i zakrzywia tor w okrąg o promieniu .
Ważny wniosekSiła Lorentza jest zawsze prostopadła do prędkości, więc nie wykonuje pracy — nie zmienia energii kinetycznej ani wartości prędkości, tylko kierunek.
Siła elektrodynamiczna
siła elektrodynamiczna działająca na przewodnik z prądem [N]
natężenie prądu w przewodniku [A]
długość odcinka przewodnika w polu [m]
indukcja magnetyczna [T]
kąt między przewodnikiem a liniami pola
To siła Lorentza działająca zbiorczo na wszystkie nośniki w przewodniku. Zasada działania silnika elektrycznego i głośnika.
Pole wokół prostoliniowego przewodnika
indukcja magnetyczna w odległości od drutu [T]
przenikalność magnetyczna próżni, N/A²
natężenie prądu w przewodniku [A]
odległość od przewodnika [m]
Linie pola to współśrodkowe okręgi wokół drutu; ich zwrot wskazują zgięte palce prawej dłoni, gdy kciuk pokazuje kierunek prądu.
Pole wewnątrz zwojnicy (solenoidu)
indukcja magnetyczna w środku cewki — jednorodna [T]
przenikalność magnetyczna próżni [N/A²]
liczba zwojów cewki
natężenie prądu w uzwojeniu [A]
długość zwojnicy [m]
W środku długiej, gęsto nawiniętej cewki pole jest jednorodne i nie zależy od promienia — liczy się tylko gęstość zwojów .
Moment siły na pętlę z prądem
moment siły obracający ramkę [N·m]
natężenie prądu w pętli [A]
pole powierzchni pętli [m²]
indukcja magnetyczna [T]
wektor powierzchni — prostopadły do płaszczyzny pętli
Pole obraca ramkę tak, by jej płaszczyzna ustawiła się prostopadle do linii pola. To mechanizm silnika elektrycznego i miernika wskazówkowego.
Strumień pola magnetycznego
strumień magnetyczny — ile linii pola przebija powierzchnię [Wb = T·m²]
indukcja magnetyczna [T]
pole powierzchni [m²]
kąt między wektorem powierzchni a polem
Ile linii pola „przebija” powierzchnię. Maksymalny, gdy pole jest prostopadłe do powierzchni (a więc równoległe do ); zerowy, gdy pole jest równoległe do płaszczyzny ramki.
minus — reguła Lenza: prąd indukowany przeciwdziała przyczynie
Napięcie indukuje się tylko wtedy, gdy strumień się zmienia — przez zmianę , pola powierzchni albo kąta. Minus to reguła Lenza: prąd indukowany przeciwdziała przyczynie, która go wywołała (magnes wpadający do rurki miedzianej wyhamowuje). Dla cewki o zwojach mnożysz przez .
SEM prądnicy
chwilowa siła elektromotoryczna prądnicy [V]
liczba zwojów ramki
indukcja magnetyczna [T]
pole powierzchni ramki [m²]
prędkość kątowa wirowania [rad/s]
czas [s]
faza początkowa — położenie ramki w chwili [rad]
Wirująca w polu ramka daje napięcie sinusoidalne o amplitudzie — im szybciej kręcisz, tym większe napięcie i większa częstotliwość. Tak powstaje prąd przemienny w elektrowni.
Wartości skuteczne prądu przemiennego
wartości skuteczne — taki prąd stały dałby tę samą moc [A], [V]
amplitudy, czyli wartości maksymalne [A], [V]
praca prądu w czasie jednego okresu [J]
okres przebiegu sinusoidalnego [s]
Wartość skuteczna to taki prąd stały, który wydzielałby tę samą moc. Gniazdkowe 230 V to wartość skuteczna — amplituda wynosi ok. 325 V. Moc średnia: .
Transformator (model uproszczony)
napięcie, prąd i liczba zwojów uzwojenia pierwotnego
napięcie, prąd i liczba zwojów uzwojenia wtórnego
Zakładamy 100% sprawności, więc moc po obu stronach jest równa. Podnosząc napięcie, w tym samym stosunku obniżasz prąd — dlatego linie przesyłowe pracują przy setkach kilowoltów (mniejszy prąd = mniejsze straty ). Transformator działa tylko na prądzie przemiennym.
Dział 12 · karta s. 19
Elementy mechaniki relatywistycznej
Wszystkie te wzory przy przechodzą w znane wersje klasyczne. Mianownik wraca wszędzie — warto policzyć go raz i podstawiać.
Energia całkowita ciała
energia całkowita poruszającego się ciała [J]
masa spoczynkowa — mierzona, gdy ciało stoi [kg]
prędkość światła w próżni, m/s
prędkość ciała względem obserwatora [m/s]
Gdy , mianownik dąży do zera, a energia do nieskończoności — dlatego ciała o masie nie mogą osiągnąć prędkości światła.
Energia spoczynkowa
energia spoczynkowa — energia zawarta w samej masie [J]
masa spoczynkowa [kg]
prędkość światła w próżni [m/s]
Masa sama w sobie jest formą energii. 1 gram materii to ok. J — tyle, ile daje spalenie kilku tysięcy ton węgla.
Związek zmiany masy z energią
energia pochłonięta lub wypromieniowana przez układ [J]
zmiana masy układu — deficyt masy [kg]
prędkość światła w próżni [m/s]
Układ, który wypromieniowuje energię, traci masę. To wzór do liczenia energii wiązania jąder i energii wydzielanej w reakcjach jądrowych z deficytu masy.
PrzelicznikWygodnie: odpowiada MeV. Masy podawaj w u, wynik od razu w MeV.
Pęd relatywistyczny
pęd ciała poruszającego się z prędkością bliską [kg·m/s]
masa spoczynkowa [kg]
prędkość ciała [m/s]
prędkość światła w próżni [m/s]
Klasyczne to przybliżenie dla małych prędkości. W akceleratorach pęd rośnie znacznie szybciej, niż wynikałoby z .
Niezmiennik relatywistyczny
energia spoczynkowa [J]
energia całkowita [J]
prędkość światła w próżni [m/s]
pęd ciała [kg·m/s]
Ta kombinacja ma tę samą wartość w każdym układzie odniesienia. Dla fotonu , więc — stąd pęd fotonu mimo zerowej masy.
Relatywistyczna energia kinetyczna
energia kinetyczna — nadwyżka ponad energię spoczynkową [J]
energia całkowita [J]
energia spoczynkowa [J]
Energia kinetyczna to nadwyżka ponad energię spoczynkową. Dla małych daje z powrotem .
Dział 13 · karta s. 19
Fizyka atomowa i jądrowa
Świat, w którym energia jest skwantowana: promieniowanie ciał, fotony, poziomy energetyczne i rozpady. Prawie wszystkie zadania sprowadzają się do bilansu energii z udziałem .
Prawo Wiena
długość fali, przy której ciało promieniuje najsilniej [m]
temperatura powierzchni ciała [K]
stała Wiena, m·K
Im gorętsze ciało, tym krótsza fala maksimum. Dlatego rozgrzewany metal świeci najpierw na czerwono, potem na biało, a gorące gwiazdy są niebieskie.
Prawo Stefana–Boltzmanna
moc wypromieniowana z jednostki powierzchni [W/m²]
stała Stefana–Boltzmanna, W/(m²·K⁴)
temperatura ciała [K]
Moc wypromieniowana z jednostki powierzchni rośnie z czwartą potęgą temperatury. Dwa razy gorętsze ciało świeci 16 razy mocniej. Całkowita moc gwiazdy: .
Energia i pęd fotonu
energia fotonu [J lub eV]
stała Plancka, J·s
częstotliwość światła [Hz]
prędkość światła w próżni [m/s]
długość fali światła [m]
pęd fotonu — mimo zerowej masy [kg·m/s]
Światło niesie energię porcjami. Foton nie ma masy, ale ma pęd — dlatego działa żagiel słoneczny i dlatego warkocz komety jest odchylony od Słońca.
Skrót rachunkowy. Foton o nm ma więc eV — liczysz w pamięci, bez potęg.
Zjawisko fotoelektryczne
energia padającego fotonu, [J lub eV]
praca wyjścia — energia potrzebna na wyrwanie elektronu z metalu [J lub eV]
maksymalna energia kinetyczna wybitego elektronu [J lub eV]
Zwykły bilans energii: foton oddaje całą energię jednemu elektronowi. Jeśli , efektu nie ma niezależnie od natężenia światła — i to był dowód na kwantową naturę światła. Zwiększenie natężenia zwiększa liczbę elektronów, nie ich energię.
Napięcie hamowania — tak mierzy się energię wybitych elektronów. Częstotliwość progowa: .
Emisja i absorpcja fotonu przez atom
energie elektronu na poziomie wyższym i niższym [eV]
stała Plancka [J·s]
częstotliwość fotonu emitowanego przy przejściu [Hz]
energia odrzutu atomu — w zadaniach zwykle pomijalna [eV]
Atom pochłania lub emituje wyłącznie fotony o energii dokładnie równej różnicy poziomów — stąd widma liniowe, po których rozpoznaje się pierwiastki w gwiazdach. Człon odrzutu jest w większości zadań pomijalny.
Poziomy energetyczne atomu wodoru
energia elektronu na -tym poziomie — ujemna, bo stan związany [eV]
główna liczba kwantowa: 1, 2, 3…
energia jonizacji z poziomu podstawowego
Minus oznacza stan związany. Energia jonizacji z poziomu podstawowego to 13,6 eV. Energię fotonu przy przejściu liczysz jako , np. serię Balmera (przejścia na ) widać w zakresie widzialnym.
Długość fali de Broglie’a
długość fali materii przypisana cząstce [m]
stała Plancka [J·s]
pęd cząstki [kg·m/s]
Każda cząstka ma naturę falową. Dla rozpędzonego elektronu w mikroskopie elektronowym jest o kilka rzędów wielkości mniejsza niż dla światła widzialnego — stąd o tyle lepsza rozdzielczość. Dla obiektów makroskopowych jest niemierzalnie mała.
Zasady zachowania w procesach fundamentalnych
liczba masowa — liczba nukleonów, górny indeks przy symbolu pierwiastka
liczba atomowa — liczba protonów, czyli ładunek jądra, dolny indeks
To narzędzie do zapisywania reakcji jądrowych: liczba nukleonów (górny indeks) i ładunek (dolny) muszą się zgadzać po obu stronach równania. Rozpad α zmniejsza o 4 i o 2; rozpad β⁻ zwiększa o 1 przy stałym .
Prawo rozpadu promieniotwórczego
liczba jąder, które jeszcze się nie rozpadły po czasie
początkowa liczba jąder (w chwili )
czas, który upłynął [s]
czas połowicznego rozpadu — po nim zostaje połowa jąder [s]
Po każdym zostaje połowa jąder: po — jedna czwarta, po — jedna ósma. Prawo jest statystyczne: nie da się przewidzieć, kiedy rozpadnie się konkretne jądro. Na tym opiera się datowanie węglem C.
Dział 14 · karta s. 19
Wykresy i wektory
Umiejętność, która wraca w każdym dziale: odczytywanie wielkości jako pola pod wykresem i jako nachylenia wykresu. Pole pod wykresem = mnożenie osi przez siebie.
Środek masy układu punktów
położenie środka masy układu [m]
masa -tego punktu [kg]
położenie -tego punktu [m]
liczba punktów w układzie
Średnia położeń ważona masami. Środek masy układu izolowanego porusza się ruchem jednostajnym — nawet gdy ciała się zderzają albo rozpadają.
Droga jako pole pod wykresem
droga przebyta między chwilami A i B [m]
punkty na wykresie wyznaczające początek i koniec przedziału
Bo , a pole to iloczyn osi. Nachylenie tego samego wykresu daje z kolei przyśpieszenie. Dla wykresu pole pod nim to zmiana prędkości.
Gdy prędkość zmienia znakJeśli wykres schodzi pod oś, ciało zawraca. Pole pod osią liczone „ze znakiem” daje wtedy przemieszczenie, a droga to suma pól bez znaku — te dwie liczby przestają być równe.
Praca jako pole pod wykresem
praca wykonana na odcinku od A do B [J]
punkty na wykresie — początek i koniec odcinka drogi
Jedyny sposób policzenia pracy, gdy siła nie jest stała — np. dla sprężyny, gdzie pole trójkąta daje .
Praca jako pole pod wykresem
praca wykonana między chwilami A i B [J]
punkty na wykresie — początek i koniec przedziału czasu
Przydaje się w zadaniach o zmiennym poborze mocy — np. o zużyciu energii przez urządzenie w ciągu doby.
Działania na wektorach
wektor wypadkowy — suma dodawanych wektorów
wektory składowe, które dodajemy lub odejmujemy
składowe wektora wzdłuż dwóch prostopadłych osi i
kąt między wektorem a osią, na którą go rzutujemy
Dodawanie: metoda równoległoboku albo „koniec do początku”. Odejmowanie : wektor prowadzący od końca do końca — tak liczy się zmianę prędkości. Rozkład na składowe: rzutujesz wektor na dwie prostopadłe osie, co jest podstawą zadań o równi.
Przy dodawaniu prostopadłychWartość wypadkowej: . Dla dowolnego kąta między nimi: .
Dział 15 · karta s. 20
Stałe fizyczne i astrofizyczne
Wszystkie te wartości dostajesz na maturze — nie trzeba ich pamiętać, trzeba umieć je szybko znaleźć. W obliczeniach zwykle wystarczą 3 cyfry znaczące; pełne wartości podano dla porządku.
Wielkość
Symbol
Wartość
Do zapamiętania
prędkość światła w próżni
c
299 792 458 m/s
3,00·10⁸
stała Plancka
h
6,626 070 15·10⁻³⁴ J·s
6,63·10⁻³⁴
ładunek elementarny
e
1,602 176 634·10⁻¹⁹ C
1,6·10⁻¹⁹
stała Boltzmanna
kB
1,380 649·10⁻²³ J/K
1,38·10⁻²³
stała Avogadra
NA
6,022 140 76·10²³ mol⁻¹
6,02·10²³
uniwersalna stała gazowa
R
8,314 462 618 J/(K·mol)
8,31
stała grawitacji
G
6,674·10⁻¹¹ N·m²/kg²
6,67·10⁻¹¹
przenikalność magnetyczna próżni
μ₀
4π·10⁻⁷ N/A²
1,26·10⁻⁶
przenikalność elektryczna próżni
ε₀
8,854 187 81·10⁻¹² C²/(N·m²)
8,85·10⁻¹²
stała w prawie Coulomba
k = 1/4πε₀
8,987 551 8·10⁹ N·m²/C²
9·10⁹
masa elektronu
me
9,109 383 7·10⁻³¹ kg
9,11·10⁻³¹
masa protonu
mp
1,672 621 92·10⁻²⁷ kg
1,67·10⁻²⁷
masa neutronu
mn
1,674 927 49·10⁻²⁷ kg
1,67·10⁻²⁷
jednostka masy atomowej
1 u
1,660 539 066·10⁻²⁷ kg
≈ 931,5 MeV
przyśpieszenie ziemskie
g
9,806 65 m/s²
9,81 (lub 10)
stała Wiena
b
2,897 771 955·10⁻³ m·K
2,90·10⁻³
stała Stefana–Boltzmanna
σ
5,670 374 419·10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
5,67·10⁻⁸
Astrofizyka
Symbol
Wartość
jednostka astronomiczna
1 au
1,495 978 707·10¹¹ m
parsek
1 pc
3,085 677 581·10¹⁶ m
rok świetlny
1 ly
0,946 073·10¹⁶ m = 0,306 601 pc
masa Słońca
MS
1,988·10³⁰ kg
masa Ziemi
MZ
5,972·10²⁴ kg
promień równikowy Ziemi
RZ
6,378·10⁶ m
odległość Słońca od centrum Galaktyki
R₀
≈ 27 kly
stała Hubble’a
H₀
≈ 70 (km/s)/Mpc
temperatura promieniowania tła
T₀
2,7 K
Dział 16 · karta s. 19–20
Jednostki SI, przedrostki i przeliczniki
Najtańsze punkty na maturze i najczęstsze straty. Przed podstawieniem do wzoru przelicz wszystko na jednostki podstawowe SI — kilometry na metry, gramy na kilogramy, stopnie Celsjusza na kelwiny.
Jednostka podstawowa
Symbol
Wielkość
metr
m
długość
kilogram
kg
masa
sekunda
s
czas
amper
A
natężenie prądu
kelwin
K
temperatura
mol
mol
liczność materii
kandela
cd
światłość
Przedrostek
Oznaczenie
Mnożnik
Przedrostek
Oznaczenie
Mnożnik
jotta
Y
10²⁴
decy
d
10⁻¹
zetta
Z
10²¹
centy
c
10⁻²
eksa
E
10¹⁸
mili
m
10⁻³
peta
P
10¹⁵
mikro
μ
10⁻⁶
tera
T
10¹²
nano
n
10⁻⁹
giga
G
10⁹
piko
p
10⁻¹²
mega
M
10⁶
femto
f
10⁻¹⁵
kilo
k
10³
atto
a
10⁻¹⁸
hekto
h
10²
zepto
z
10⁻²¹
deka
da
10¹
jokto
y
10⁻²⁴
Jednostki spoza SI
Wartość
elektronowolt
1 eV = 1,602 176 634·10⁻¹⁹ J
stopień Celsjusza a kelwin
0 °C ≡ 273,15 K
atmosfera
1 atm ≡ 101 325 Pa
gaus
1 G ≡ 10⁻⁴ T
angstrem
1 Å = 0,1 nm = 10⁻¹⁰ m
liczba π
3,141 592 653 589 793…
liczba Eulera
2,718 281 828 459 045…
Przeliczniki, na których najczęściej wykłada się arkusz
kilometr na godzinę — jednostka prędkości spoza SI
metr na sekundę — jednostka prędkości w SI
centymetr sześcienny — jednostka objętości spoza SI
kilowatogodzina — jednostka energii z rachunku za prąd
Prędkość: dziel przez 3,6, żeby z km/h zrobić m/s (mnóż przez 3,6 w drugą stronę). Objętość: centymetr sześcienny to m³, a nie — potęga idzie do trzeciej. Litr to m³.
Nawyk wart punktówPrzy każdym wyniku dopisz jednostkę i sprawdź, czy się zgadza wymiarowo. Jeśli z obliczeń wychodzi „kg·m/s²”, to jest niuton — i to często wystarczy, by wyłapać błąd w połowie zadania.
Dział 17 · poza kartą
Czego nie ma w karcie, a i tak trzeba umieć
Karta CKE jest wyborem, nie kompletem. Poniższe zależności albo wyprowadza się z tego, co w karcie jest, albo po prostu trzeba je znać na pamięć — a pojawiają się w arkuszach regularnie.
Zasada zachowania pędu
masy zderzających się ciał [kg]
prędkości przed zderzeniem — ze znakiem, zależnym od zwrotu [m/s]
prędkości po zderzeniu [m/s]
Wynika z : brak sił zewnętrznych ⇒ pęd stały. Zderzenie doskonale niesprężyste (ciała sklejają się): , energia kinetyczna nie jest zachowana. Zderzenie sprężyste: zachowane są i pęd, i energia kinetyczna.
Zasada zachowania energii mechanicznej
energia kinetyczna [J]
energia potencjalna [J]
masa ciała [kg]
prędkość ciała [m/s]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
wysokość nad przyjętym poziomem zerowym [m]
Obowiązuje, gdy nie ma tarcia ani oporu powietrza. Gdy tarcie jest: . To najszybsza droga do wyniku w zadaniach o równiach, wahadłach i spadkach — bez liczenia czasu.
Ruch bez przyśpieszenia i zależność
droga [m]
prędkość końcowa [m/s]
prędkość początkowa [m/s]
czas ruchu [s]
przyśpieszenie — stałe [m/s²]
Drugi wzór powstaje z połączenia i . Używaj go zawsze, gdy w zadaniu nie ma i nie interesuje cię czas — np. „jaka jest droga hamowania z 100 km/h”.
Rzut poziomy
zasięg — droga przebyta w poziomie [m]
spadek — droga przebyta w pionie [m]
prędkość początkowa, skierowana poziomo [m/s]
czas od wyrzucenia [s]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
wysokość, z której ciało wyrzucono [m]
całkowity czas lotu — zależy tylko od wysokości [s]
Dwa niezależne ruchy: jednostajny w poziomie i swobodny spadek w pionie. Czas lotu zależy wyłącznie od wysokości — kula wystrzelona poziomo i kula upuszczona z tej samej wysokości spadną w tej samej chwili.
Równia pochyła — rozkład sił
składowa ciężaru wzdłuż równi — ta ściąga ciało w dół [N]
siła nacisku prostopadła do równi [N]
masa ciała [kg]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
kąt nachylenia równi do poziomu
przyśpieszenie, z jakim ciało zsuwa się z równi [m/s²]
współczynnik tarcia między ciałem a równią
Ciężar rozkładasz na składową wzdłuż równi (ściąga w dół) i prostopadłą (dociska). Ciało nie zsuwa się, dopóki — stąd wyznacza się współczynnik tarcia z kąta, przy którym klocek rusza.
Gęstość, ciężar, sprawność
gęstość — masa przypadająca na metr sześcienny [kg/m³]
masa ciała [kg]
objętość ciała [m³]
ciężar — siła, z jaką Ziemia przyciąga ciało [N]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
sprawność — jaka część włożonej energii daje pożądany efekt (0–1)
Podstawowe definicje, których karta nie podaje, a bez których nie ruszysz zadania o pływaniu ciał, o windzie czy o sprawności silnika lub grzałki.
Okresy drgań i I prawo Kirchhoffa
okres drgań — czas jednego pełnego wahnięcia [s]
masa ciała na sprężynie [kg]
współczynnik sprężystości sprężyny [N/m]
długość wahadła [m]
przyśpieszenie ziemskie [m/s²]
natężenia prądów wpływających do węzła i wypływających z niego [A]
Okresy wynikają wprost z podanych w karcie wzorów na plus , ale warto mieć je gotowe. I prawo Kirchhoffa (zachowanie ładunku w węźle) jest w karcie pominięte — trzeba je pamiętać.
Powiększenie i zdolność skupiająca
powiększenie — ile razy obraz jest większy od przedmiotu (bez jednostki)
odległość obrazu od soczewki [m]
odległość przedmiotu od soczewki [m]
wysokości obrazu i przedmiotu [m]
zdolność skupiająca [D = 1/m]
ogniskowa soczewki [m]
Bez wzoru na powiększenie nie odpowiesz na pytanie „ile razy większy jest obraz”. Zdolność skupiająca w dioptriach (1/m) pojawia się w zadaniach o okularach: krótkowzroczność koryguje się soczewką rozpraszającą ().
Fizyka jądrowa — energia wiązania i rozpady
deficyt masy — o ile jądro waży mniej niż jego nukleony osobno [kg lub u]
liczba protonów w jądrze (liczba atomowa)
liczba neutronów w jądrze
masy protonu i neutronu [kg lub u]
rzeczywista masa jądra [kg lub u]
energia wiązania — energia scalająca jądro [J lub MeV]
liczba masowa — łączna liczba nukleonów,
jądro przed i po rozpadzie
cząstka alfa — jądro helu
cząstka beta minus — elektron wyrzucony z jądra
antyneutrino — cząstka unosząca część energii rozpadu
Jądro waży mniej niż suma jego nukleonów — brakująca masa to energia wiązania, która je scala. Energia wiązania na nukleon jest największa dla żelaza, dlatego lżejsze jądra zyskują energię przez syntezę, a cięższe przez rozszczepienie.
Zapis reakcjiSprawdzaj bilans: suma górnych indeksów (nukleony) i suma dolnych (ładunek) muszą się zgadzać po obu stronach. To wystarcza, by odgadnąć brakującą cząstkę.
Niepewności pomiaru
średnia arytmetyczna serii pomiarów
wynik -tego pomiaru
liczba pomiarów w serii
wielkość liczona jako iloczyn dwóch mierzonych wielkości
wielkości mierzone bezpośrednio
niepewności bezwzględne — w tych samych jednostkach co wielkość
niepewność względna — ułamek lub procent wartości
W zadaniach doświadczalnych: przy mnożeniu i dzieleniu dodają się niepewności względne, przy dodawaniu i odejmowaniu — bezwzględne. Wynik zapisuj z niepewnością zaokrągloną do jednej cyfry znaczącej, a wartość do tego samego miejsca.
Zadanie doświadczalnePytanie „którą wielkość zmierzyć najdokładniej” zwykle sprowadza się do tego, która wchodzi do wzoru w najwyższej potędze — jej niepewność względna liczy się podwójnie lub potrójnie.
Źródło wzorów: Centralna Komisja Egzaminacyjna, „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki” (wydanie 2023), strony 16–20. Opisy oznaczeń i komentarze są dodane poza kartą — sama karta zawiera wyłącznie wzory.
Frekwencja i oceny
Obecności, nieobecności i oceny z Librusa — pobierane automatycznie, bez klikania. Frekwencja liczy się od dnia podłączenia konta (historia sprzed podłączenia nie jest dostępna), oceny widać wszystkie, jakie są w dzienniku.
Średnia wg przedmiotu
Frekwencja wg przedmiotu
Ten tydzień
Rywalizacja
Porównuj godziny nauki i sesje pomodoro ze znajomymi. Znajomi widzą wyłącznie te dwie liczby — nastrój, sen, cele, Librus i reszta zostają prywatne.
Zaloguj się do konta w chmurze (zakładka Konto), żeby porównywać się ze znajomymi.
Twój kod zaproszenia
Wyślij go znajomemu — po wpisaniu zobaczycie nawzajem swoje wyniki, a każda osoba, która go użyje, daje Tobie 30 dni pełnego dostępu za darmo.
————
🏆 Punkty
💬 Czat
Rozmowa widoczna tylko dla Was dwojga.
🤝 Zakłady
stawka 1–7 pkt
pkt
🛒 Sklep za punkty
Wspólna lista nagród — obaj ją widzicie, obaj możecie kupować. Punkty schodzą od razu.
pkt
Historia zakupów
Pojedynek
Wykres
Analiza czasu
Wszystkie wskaźniki na jednym wykresie giełdowym — zaznacz, które linie chcesz widzieć, osobno lub nałożone na siebie.
Wykres
Według kategorii
Według dni (ostatnie 7)
Sen a nauka
Licznik snu
Zapisuj godziny snu i jego jakość — zobacz, jak sypiasz na przestrzeni dni.
Zapisz noc
Ostatnie 14 nocy
Historia
Nawyki
Codzienne odhaczanie buduje serię — a seria buduje nawyk.
Nowy nawyk
Dzisiaj i ostatni tydzień
Asystent AI
Czat z AI, które zna tę aplikację i widzi Twoje dane: naukę, sen, produktywność, plan,
sprawdziany, materiały, frekwencję i całą rywalizację ze znajomym. Pytaj o wnioski, nie o same liczby —
np. „kiedy uczę się najskuteczniej?", „dlaczego przegrywam ten tydzień?", „co poprawić przed maturą?".
Profil
Zdjęcie i nazwa widoczne dla znajomych w Rywalizacji, plus podsumowanie Twoich liczb.
Podsumowanie
Dziś już się pokazało — możesz je obejrzeć jeszcze raz do końca dnia.
Raport okresu
Podsumowanie zdaniami, nie tylko liczbami. Możesz je wygenerować w każdej chwili, dla dowolnego zakresu.
Kolory plansz
Tło każdego podsumowania osobno. Grafika dopasowuje się do koloru — także do jasnego.
Twoje liczby
Postęp materiałów
Wygląd
Motyw, kolory interfejsu i własne tło ze zdjęcia.
Motyw
Kolor główny
Kolor akcentu
Zdjęcie jako tło
Po wybraniu zdjęcia aplikacja sama dobierze motyw oraz przyciemnienie tak, aby treść była jak najbardziej czytelna. Suwakami możesz to doprecyzować.
Dane
Kopia wszystkich danych do pliku JSON — możesz ją przenieść między komputerem a telefonem.
Konto i logowanie
Konto w chmurze synchronizuje dane między komputerem a telefonem. Tutaj też wpisujesz kod promocyjny i znajdziesz regulamin.
Dokumenty
Zasady zakupu i zwrotów oraz to, jakie dane trafiają do chmury, komu są przekazywane i jak poprosić o ich usunięcie.